Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα
Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της εστιάζουσας μη- γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία κυματικά φαινόμενα. Ξεκινάμε εισάγοντας ορισμένες βασικές έννοιες για τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα, όπως η ταχύτητα ομάδ...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2019
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/12181 |
| id |
nemertes-10889-12181 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Mη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) Ακραία κύματα Αστάθεια διαμόρφωσης Μέθοδος αντίστροφης σκέδασης Μετασχηματισμός Darboux Συμμετρίες Lie Non-linear Schrödinger equation (NLS) Rogue waves Modulation instability Inverse scattering method Darboux transformation Lie symmetries 530.124 |
| spellingShingle |
Mη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) Ακραία κύματα Αστάθεια διαμόρφωσης Μέθοδος αντίστροφης σκέδασης Μετασχηματισμός Darboux Συμμετρίες Lie Non-linear Schrödinger equation (NLS) Rogue waves Modulation instability Inverse scattering method Darboux transformation Lie symmetries 530.124 Κωνσταντή, Κωνσταντίνα Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| description |
Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της εστιάζουσας μη-
γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία
κυματικά φαινόμενα.
Ξεκινάμε εισάγοντας ορισμένες βασικές έννοιες για τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα,
όπως η ταχύτητα ομάδας, η σχέση διασποράς και τα ωστικά κύματα, και παράγουμε την NLS
ως ένα μαθηματικό μοντέλο κυματικής διάδοσης σε ένα μη-γραμμικό μέσο.
Στη συνέχεια, μελετάμε τις συμμετρίες Lie της NLS και κατασκευάζουμε συγκεκριμένες
αναλλοίωτες λύσεις της, όπως το επίπεδο κύμα και την 1-soliton λύση της. Διατυπώνουμε την
εξίσωση NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton και συνδέουμε τις συμμετρίες Lie με
τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης.
Ένας μηχανισμός υπεύθυνος για τα ακραία κύματα θεωρείται η αστάθεια διαμόρφωσης.
Μελετάμε την NLS στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας κι αποδεικνύουμε ότι είναι ασταθής.
Από την άλλη, παραλείποντας όρους διασποράς, οι εξισώσεις ανάγονται σε ένα υδροδυναμικό
σύστημα, κι αποδεικνύουμε ότι η αστάθεια διαμόρφωσης οδηγεί σε ανωμαλίες της λύσης ενός
ομαλού προβλήματος Cauchy, σε πεπερασμένο χρόνο.
Τέλος, μελετάμε μεθόδους παραγωγής λύσεων που βασίζονται στον μετασχηματισμό της
αντίστροφης σκέδασης. Εδώ η έμφαση δίνεται αφενός στην κατασκευή του μετασχηματισμού
Darboux, και αφετέρου στην εφαρμογή του για την παραγωγή της 1-soliton λύσης της NLS,
καθώς και των λύσεων τύπου πνοών των Kuznetsov-Ma και Akhmediev. Όταν η περίοδος των
τελευταίων περιοδικών λύσεων τείνει στο άπειρο, τότε και οι δύο λύσεις ανάγονται στην λύση
του Peregrine. Πρόκειται για την απλούστερη λύση της NLS που είναι εντοπισμένη χωρικά και
χρονικά, και η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων -
την τάση να εμφανίζονται από το πουθενά και να εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος. |
| author2 |
Τόγκας, Αναστάσιος |
| author_facet |
Τόγκας, Αναστάσιος Κωνσταντή, Κωνσταντίνα |
| format |
Thesis |
| author |
Κωνσταντή, Κωνσταντίνα |
| author_sort |
Κωνσταντή, Κωνσταντίνα |
| title |
Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| title_short |
Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| title_full |
Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| title_fullStr |
Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| title_full_unstemmed |
Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| title_sort |
η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/12181 |
| work_keys_str_mv |
AT kōnstantēkōnstantina ēmethodostēsantistrophēsskedasēsgiatēnmēgrammikēexisōsēschrodingerkaiakraiakymatikaphainomena AT kōnstantēkōnstantina themethodofinversescatteringforthenonlinearschrodingerequationandextremewavephenomena |
| _version_ |
1771297219538845696 |
| spelling |
nemertes-10889-121812022-09-05T14:00:40Z Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης για την μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger και ακραία κυματικά φαινόμενα The method of inverse scattering for the nonlinear Schrödinger equation and extreme wave phenomena Κωνσταντή, Κωνσταντίνα Τόγκας, Αναστάσιος Weele, Jacobus Pieter (Ko) van der Παπαγεωργίου, Βασίλειος Konstanti, Konstantina Mη-γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) Ακραία κύματα Αστάθεια διαμόρφωσης Μέθοδος αντίστροφης σκέδασης Μετασχηματισμός Darboux Συμμετρίες Lie Non-linear Schrödinger equation (NLS) Rogue waves Modulation instability Inverse scattering method Darboux transformation Lie symmetries 530.124 Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της εστιάζουσας μη- γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία κυματικά φαινόμενα. Ξεκινάμε εισάγοντας ορισμένες βασικές έννοιες για τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα, όπως η ταχύτητα ομάδας, η σχέση διασποράς και τα ωστικά κύματα, και παράγουμε την NLS ως ένα μαθηματικό μοντέλο κυματικής διάδοσης σε ένα μη-γραμμικό μέσο. Στη συνέχεια, μελετάμε τις συμμετρίες Lie της NLS και κατασκευάζουμε συγκεκριμένες αναλλοίωτες λύσεις της, όπως το επίπεδο κύμα και την 1-soliton λύση της. Διατυπώνουμε την εξίσωση NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton και συνδέουμε τις συμμετρίες Lie με τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης. Ένας μηχανισμός υπεύθυνος για τα ακραία κύματα θεωρείται η αστάθεια διαμόρφωσης. Μελετάμε την NLS στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας κι αποδεικνύουμε ότι είναι ασταθής. Από την άλλη, παραλείποντας όρους διασποράς, οι εξισώσεις ανάγονται σε ένα υδροδυναμικό σύστημα, κι αποδεικνύουμε ότι η αστάθεια διαμόρφωσης οδηγεί σε ανωμαλίες της λύσης ενός ομαλού προβλήματος Cauchy, σε πεπερασμένο χρόνο. Τέλος, μελετάμε μεθόδους παραγωγής λύσεων που βασίζονται στον μετασχηματισμό της αντίστροφης σκέδασης. Εδώ η έμφαση δίνεται αφενός στην κατασκευή του μετασχηματισμού Darboux, και αφετέρου στην εφαρμογή του για την παραγωγή της 1-soliton λύσης της NLS, καθώς και των λύσεων τύπου πνοών των Kuznetsov-Ma και Akhmediev. Όταν η περίοδος των τελευταίων περιοδικών λύσεων τείνει στο άπειρο, τότε και οι δύο λύσεις ανάγονται στην λύση του Peregrine. Πρόκειται για την απλούστερη λύση της NLS που είναι εντοπισμένη χωρικά και χρονικά, και η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων - την τάση να εμφανίζονται από το πουθενά και να εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος. The subject matter of the present master thesis is the study of the focusing non-linear Schrödinger equation (NLS) as a mathematical model which describes extreme wave phenomena, called rogue waves. We begin by introducing certain basic notions for linear and non-linear waves, such as group velocity, the dispersion relation, and shock waves, and derive the NLS equation as a mathematical model for wave propagation in a nonlinear medium. Next we study the Lie point symmetries of NLS, and derive certain group invariant solutions, such as the plane wave solution, and the 1-soliton solution. We formulate NLS as an infinite dimensional Hamiltonian system and associate its Lie symmetries with their corresponding conservation laws. Rogue waves represent a nonlinear phenomenon that arises through modulation instability. We study modulation instability within the linearized theory, and prove that the plane wave solution of NLS is unstable. On the other hand, when dispersion effects are omitted, we convert the system of PDEs into a hydrodynamic system, and prove that modulation instability results in singularities for the solution of a smooth Cauchy problem, at a finite time. Finally, we study solution generating techniques based on the inverse scattering transform. Here the emphasis is on the derivation of the Darboux transformation of NLS equation, as well as on specific applications to construct the 1-soliton of NLS, and Kuznetsov-Ma and Akhmediev breathers. When the period of the latter periodic solutions tends to infinity they both reduce to the Peregrine soliton. It is the simplest solution of NLS equation localized both in space and time, which qualitatively reproduces the main feature of rogue waves - their propensity to appear out of nowhere and then disappear without a trace. 2019-05-31T07:03:16Z 2019-05-31T07:03:16Z 2018-09-25 Thesis http://hdl.handle.net/10889/12181 gr 0 application/pdf |
