| Περίληψη: | Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων.
Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις
συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης
συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες
τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής
της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε
συνθήκες γραμμικοποιήσης.
Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης
των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS
προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να
επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα
αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund
και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που
αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους.
Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να
μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες
που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό
εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την
αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα
ζευγάρι Lax.
Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών
εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες
συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé.
Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών
εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από
τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η
προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο
άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα.
Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των
συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την
σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
|
|---|
