| Περίληψη: | Στην παρούσα εργασία μελετάμε το σύνολο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως παράδειγμα χώρου Bruhat – Tits. Αποδεικνύουμε, δηλαδή, ότι σαν μετρικός χώρος είναι πλήρης και ικανοποιεί το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου. Σημαντικό μέρος της εργασίας, είναι αφιερωμένο στη μελέτη της εκθετικής συνάρτησης πινάκων, ορισμένης στο σύνολο των συμμετρικών πινάκων.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, διατυπώνουμε το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου και δίνουμε τον ορισμό των μετρικών χώρων Bruhat – Tits. Επιπλέον, διατυπώνουμε ένα θεώρημα σταθερού σημείου και δίνουμε δύο αποδείξεις αυτού, η πρώτη είναι αυτή των Bruhat – Tits, ενώ η δεύτερη οφείλεται στον Serre.
Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τους θετικά ορισμένους πίνακες και ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ίχνους επί των συμμετρικών πινάκων. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε την αύξουσα μετρική ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με την απόδειξη του βασικού θεωρήματος, ότι οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες αποτελούν χώρο Bruhat – Tits.
Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην απόδειξη της αύξουσας μετρικής ιδιότητας της εκθετικής απεικόνισης, που διατυπώσαμε στο δεύτερο κεφάλαιο.
Στο εισαγωγικό κεφάλαιο της εργασίας μας εκθέτουμε της προαπαιτούμενες έννοιες και αποτελέσματα που της είναι χρήσιμα στη συνέχεια – τα περισσότερα χωρίς απόδειξη – δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στην εκθετική συνάρτηση, καθώς αποτελεί βασικό εργαλείο αυτής.
Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας αναφερόμαστε εν συντομία στο χώρο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως πολλαπλότητα Riemann και διατυπώνουμε ένα θεώρημα ισοδύναμων συνθηκών, από το οποίο προκύπτει ότι ο χώρος αυτός έχει ημιαρνητική καμπυλότητα.
|
|---|
