Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits
Στην παρούσα εργασία μελετάμε το σύνολο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως παράδειγμα χώρου Bruhat – Tits. Αποδεικνύουμε, δηλαδή, ότι σαν μετρικός χώρος είναι πλήρης και ικανοποιεί το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου. Σημαντικό μέρος της εργασίας, είναι αφιερωμένο στη μελέτη της εκθετικής συνάρ...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2019
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/12461 |
| id |
nemertes-10889-12461 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-124612022-09-05T13:58:06Z Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits Positive definite symmetric matrices as an example of bruhat-tits space Χρονίας, Παναγιώτης Λεντούδης, Παύλος Τζερμιάς, Παύλος Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας Chronias, Panagiotis Χώροι bruhat-tits Νόμος ημιπαραλληλογράμμου Θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες Εκθετική συνάρτηση πινάκων Εσωτερικό γινόμενο ίχνους Bruhat-tits spaces Semi-parallelogram law Positive definite symmetric matrices Exponential function of matrices Trace scalar product 514.325 Στην παρούσα εργασία μελετάμε το σύνολο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως παράδειγμα χώρου Bruhat – Tits. Αποδεικνύουμε, δηλαδή, ότι σαν μετρικός χώρος είναι πλήρης και ικανοποιεί το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου. Σημαντικό μέρος της εργασίας, είναι αφιερωμένο στη μελέτη της εκθετικής συνάρτησης πινάκων, ορισμένης στο σύνολο των συμμετρικών πινάκων. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, διατυπώνουμε το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου και δίνουμε τον ορισμό των μετρικών χώρων Bruhat – Tits. Επιπλέον, διατυπώνουμε ένα θεώρημα σταθερού σημείου και δίνουμε δύο αποδείξεις αυτού, η πρώτη είναι αυτή των Bruhat – Tits, ενώ η δεύτερη οφείλεται στον Serre. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τους θετικά ορισμένους πίνακες και ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ίχνους επί των συμμετρικών πινάκων. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε την αύξουσα μετρική ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με την απόδειξη του βασικού θεωρήματος, ότι οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες αποτελούν χώρο Bruhat – Tits. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην απόδειξη της αύξουσας μετρικής ιδιότητας της εκθετικής απεικόνισης, που διατυπώσαμε στο δεύτερο κεφάλαιο. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο της εργασίας μας εκθέτουμε της προαπαιτούμενες έννοιες και αποτελέσματα που της είναι χρήσιμα στη συνέχεια – τα περισσότερα χωρίς απόδειξη – δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στην εκθετική συνάρτηση, καθώς αποτελεί βασικό εργαλείο αυτής. Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας αναφερόμαστε εν συντομία στο χώρο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως πολλαπλότητα Riemann και διατυπώνουμε ένα θεώρημα ισοδύναμων συνθηκών, από το οποίο προκύπτει ότι ο χώρος αυτός έχει ημιαρνητική καμπυλότητα. This work is dedicated to the study of the set of positive definite symmetric matrices as an example of a Bruhat – Tits space. We prove that as a metric space it is complete and obeys the semi-parallelogram law. We also study the exponential matrix function, defined in the set of symmetric matrices. In the first chapter, we state the semi-parallelogram law and define Bruhat – Tits metric spaces. Furthermore, we give a fixed point theorem and present two proofs; the first by Bruhat and Tits, whereas the second was given by Serre. In the second chapter we study positive definite matrices and define the trace scalar product on symmetric matrices. Afterwards we state the metric increasing property of exponential function. We conclude the chapter by proving the basic theorem that positive definite symmetric matrices constitute a Bruhat – Tits space. In the third chapter, we prove the theorem of metric semi-increasing property of exponential map, as stated in the second chapter. In the introduction we provide the necessary background and results – most of which without proof – that are useful for our main work, with emphasis on the exponential function, since it is a fundamental tool of our work. Finally, in the appendix, we briefly discuss the space of positive definite symmetric matrices as a Riemannian manifold and we state an equivalent condition theorem from which we can conclude that this space has a semi-negative curvature. 2019-08-10T17:50:34Z 2019-08-10T17:50:34Z 2019-05-16 Thesis http://hdl.handle.net/10889/12461 gr 0 application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Χώροι bruhat-tits Νόμος ημιπαραλληλογράμμου Θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες Εκθετική συνάρτηση πινάκων Εσωτερικό γινόμενο ίχνους Bruhat-tits spaces Semi-parallelogram law Positive definite symmetric matrices Exponential function of matrices Trace scalar product 514.325 |
| spellingShingle |
Χώροι bruhat-tits Νόμος ημιπαραλληλογράμμου Θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες Εκθετική συνάρτηση πινάκων Εσωτερικό γινόμενο ίχνους Bruhat-tits spaces Semi-parallelogram law Positive definite symmetric matrices Exponential function of matrices Trace scalar product 514.325 Χρονίας, Παναγιώτης Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| description |
Στην παρούσα εργασία μελετάμε το σύνολο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως παράδειγμα χώρου Bruhat – Tits. Αποδεικνύουμε, δηλαδή, ότι σαν μετρικός χώρος είναι πλήρης και ικανοποιεί το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου. Σημαντικό μέρος της εργασίας, είναι αφιερωμένο στη μελέτη της εκθετικής συνάρτησης πινάκων, ορισμένης στο σύνολο των συμμετρικών πινάκων.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, διατυπώνουμε το νόμο του ημιπαραλληλογράμμου και δίνουμε τον ορισμό των μετρικών χώρων Bruhat – Tits. Επιπλέον, διατυπώνουμε ένα θεώρημα σταθερού σημείου και δίνουμε δύο αποδείξεις αυτού, η πρώτη είναι αυτή των Bruhat – Tits, ενώ η δεύτερη οφείλεται στον Serre.
Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τους θετικά ορισμένους πίνακες και ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ίχνους επί των συμμετρικών πινάκων. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε την αύξουσα μετρική ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με την απόδειξη του βασικού θεωρήματος, ότι οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες αποτελούν χώρο Bruhat – Tits.
Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην απόδειξη της αύξουσας μετρικής ιδιότητας της εκθετικής απεικόνισης, που διατυπώσαμε στο δεύτερο κεφάλαιο.
Στο εισαγωγικό κεφάλαιο της εργασίας μας εκθέτουμε της προαπαιτούμενες έννοιες και αποτελέσματα που της είναι χρήσιμα στη συνέχεια – τα περισσότερα χωρίς απόδειξη – δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στην εκθετική συνάρτηση, καθώς αποτελεί βασικό εργαλείο αυτής.
Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας αναφερόμαστε εν συντομία στο χώρο των θετικά ορισμένων συμμετρικών πινάκων ως πολλαπλότητα Riemann και διατυπώνουμε ένα θεώρημα ισοδύναμων συνθηκών, από το οποίο προκύπτει ότι ο χώρος αυτός έχει ημιαρνητική καμπυλότητα. |
| author2 |
Λεντούδης, Παύλος |
| author_facet |
Λεντούδης, Παύλος Χρονίας, Παναγιώτης |
| format |
Thesis |
| author |
Χρονίας, Παναγιώτης |
| author_sort |
Χρονίας, Παναγιώτης |
| title |
Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| title_short |
Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| title_full |
Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| title_fullStr |
Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| title_full_unstemmed |
Οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| title_sort |
οι θετικά ορισμένοι συμμετρικοί πίνακες ως παράδειγμα χώρου bruhat-tits |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/12461 |
| work_keys_str_mv |
AT chroniaspanagiōtēs oithetikaorismenoisymmetrikoipinakesōsparadeigmachōroubruhattits AT chroniaspanagiōtēs positivedefinitesymmetricmatricesasanexampleofbruhattitsspace |
| _version_ |
1771297240016486400 |
