Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace

• Main Author: Πολύδωρας, Βασίλειος
• Other Authors: Παπαδόπουλος, Πολύκαρπος
• Format: Thesis
• Language: Greek
• Published: 2019
• Subjects: Εξίσωση Laplace; Ομοιόμορφη κατανομή Ω; Laplace equation; Gauss-Seidel; SOR-Jacobi; Uniform distribution Ω

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την μέθοδο Scheduled Relaxation Jacobi (SRJ) για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την επίλυση της εξίσωσης Laplace χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό περιβάλλον MATLAB. Η διπλωματική εργασία χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στις αριθμητικές και αναλυτικές μεθόδους επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων ΜΔΕ. Επίσης παρουσιάζονται οι εφαρμογές της εξίσωσης Laplace καθώς και η ταξινόμηση των ΜΔΕ και της εξίσωσης Laplace και η φυσική σημασία της ταξινόμησης αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύουμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών (ΜΠΔ) η οποία μετατρέπει τη Laplace σε ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα. Εν συνεχεία για την επίλυση του συστήματος αυτού αναλύουμε τις επαναληπτικές μεθόδους Jacobi, Gauss-seidel, SOR. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται η μέθοδος SRJ η οποία προκύπτει από τη μέθοδο SOR-Jacobi. Επίσης παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά της SRJ τα οποία υπολογίζονται από πολύπλοκα μη γραμμικά συστήματα. Τέλος αναλύεται ο αλγόριθμος της ομοιόμορφης κατανομής των παραγόντων χαλάρωσης Ω ⃗ . Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα της σύγκλισης των μεθόδων Jacobi, SRJ P=2,3,4,5 για την εξίσωση Laplace σε Neumann και Dirichlet προβλήματα με ομοιόμορφη κατανομή για ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη κατανομή των Ω ⃗. Τέλος με βάση τη σύγκριση των αποτελεσμάτων εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα.