Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την μέθοδο Scheduled Relaxation Jacobi (SRJ) για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την επίλυση της εξίσωσης Laplace χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό περιβάλλον MATLAB. Η διπλωματική εργασία χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2019
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/12669 |
| id |
nemertes-10889-12669 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-126692022-09-05T05:38:10Z Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace Study of numerical methods for the acceleration of the Jacobi method for the Laplace’s equation Πολύδωρας, Βασίλειος Παπαδόπουλος, Πολύκαρπος Παπαδόπουλος, Πολύκαρπος Μάργαρης, Διονύσιος Περδίος, Ευστάθιος Polydoras, Vasileios Εξίσωση Laplace Ομοιόμορφη κατανομή Ω Laplace equation Gauss-Seidel SOR-Jacobi Uniform distribution Ω Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την μέθοδο Scheduled Relaxation Jacobi (SRJ) για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την επίλυση της εξίσωσης Laplace χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό περιβάλλον MATLAB. Η διπλωματική εργασία χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στις αριθμητικές και αναλυτικές μεθόδους επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων ΜΔΕ. Επίσης παρουσιάζονται οι εφαρμογές της εξίσωσης Laplace καθώς και η ταξινόμηση των ΜΔΕ και της εξίσωσης Laplace και η φυσική σημασία της ταξινόμησης αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύουμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών (ΜΠΔ) η οποία μετατρέπει τη Laplace σε ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα. Εν συνεχεία για την επίλυση του συστήματος αυτού αναλύουμε τις επαναληπτικές μεθόδους Jacobi, Gauss-seidel, SOR. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται η μέθοδος SRJ η οποία προκύπτει από τη μέθοδο SOR-Jacobi. Επίσης παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά της SRJ τα οποία υπολογίζονται από πολύπλοκα μη γραμμικά συστήματα. Τέλος αναλύεται ο αλγόριθμος της ομοιόμορφης κατανομής των παραγόντων χαλάρωσης Ω ⃗ . Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα της σύγκλισης των μεθόδων Jacobi, SRJ P=2,3,4,5 για την εξίσωση Laplace σε Neumann και Dirichlet προβλήματα με ομοιόμορφη κατανομή για ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη κατανομή των Ω ⃗. Τέλος με βάση τη σύγκριση των αποτελεσμάτων εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα. In the present diploma thesis, scheduled relaxation Jacobi method is studied for the acceleration of the Jacobi method for Laplace’s equation, using the MATLAB program. On the first chapter, an introduction to analytical and numerical methods that solve Partial Differential Equations (PDE) is conducted. Moreover, the applications of Laplace’s equation are displayed as well as the PDE’s and Laplace’s equation classification and its physical meaning. On the second Chapter we analyze the Finite Difference method (FDM), that converts the Laplace’s equation into a system of linear algebraic equations. Consequently, we analyze the iterative methods Jacobi, Gauss-seidel, SOR in order to solve this system. On the third chapter, SRJ that results from the SOR-Jacobi method, is analyzed. Furthermore, the characteristics of SRJ are mentioned and the algorithm of uniform distribution of relaxation factors Ω ⃗ is analyzed. On the fourth chapter, we compute the convergence rate of Jacobi, SRJ P=2,3,4,5 with Neumann and Dirichlet boundary conditions, uniform and nonuniform distribution of relaxation factors Ω ⃗. The results are presented in diagrams and re compared too. Finally the conclusions derived from this study are presented. 2019-10-12T17:49:31Z 2019-10-12T17:49:31Z 2019-07-10 Thesis http://hdl.handle.net/10889/12669 gr 0 application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Εξίσωση Laplace Ομοιόμορφη κατανομή Ω Laplace equation Gauss-Seidel SOR-Jacobi Uniform distribution Ω |
| spellingShingle |
Εξίσωση Laplace Ομοιόμορφη κατανομή Ω Laplace equation Gauss-Seidel SOR-Jacobi Uniform distribution Ω Πολύδωρας, Βασίλειος Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| description |
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την μέθοδο Scheduled Relaxation Jacobi (SRJ) για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την επίλυση της εξίσωσης Laplace χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό περιβάλλον MATLAB. Η διπλωματική εργασία χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια.
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στις αριθμητικές και αναλυτικές μεθόδους επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων ΜΔΕ. Επίσης παρουσιάζονται οι εφαρμογές της εξίσωσης Laplace καθώς και η ταξινόμηση των ΜΔΕ και της εξίσωσης Laplace και η φυσική σημασία της ταξινόμησης αυτής.
Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύουμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών (ΜΠΔ) η οποία μετατρέπει τη Laplace σε ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα. Εν συνεχεία για την επίλυση του συστήματος αυτού αναλύουμε τις επαναληπτικές μεθόδους Jacobi, Gauss-seidel, SOR.
Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται η μέθοδος SRJ η οποία προκύπτει από τη μέθοδο SOR-Jacobi. Επίσης παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά της SRJ τα οποία υπολογίζονται από πολύπλοκα μη γραμμικά συστήματα. Τέλος αναλύεται ο αλγόριθμος της ομοιόμορφης κατανομής των παραγόντων χαλάρωσης Ω ⃗ .
Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα της σύγκλισης των μεθόδων Jacobi, SRJ P=2,3,4,5 για την εξίσωση Laplace σε Neumann και Dirichlet προβλήματα με ομοιόμορφη κατανομή για ομοιόμορφη και ανομοιόμορφη κατανομή των Ω ⃗. Τέλος με βάση τη σύγκριση των αποτελεσμάτων εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα. |
| author2 |
Παπαδόπουλος, Πολύκαρπος |
| author_facet |
Παπαδόπουλος, Πολύκαρπος Πολύδωρας, Βασίλειος |
| format |
Thesis |
| author |
Πολύδωρας, Βασίλειος |
| author_sort |
Πολύδωρας, Βασίλειος |
| title |
Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| title_short |
Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| title_full |
Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| title_fullStr |
Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| title_full_unstemmed |
Μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου Jacobi για την εξίσωση Laplace |
| title_sort |
μελέτη αριθμητικών μεθόδων για την επιτάχυνση της μεθόδου jacobi για την εξίσωση laplace |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/12669 |
| work_keys_str_mv |
AT polydōrasbasileios meletēarithmētikōnmethodōngiatēnepitachynsētēsmethodoujacobigiatēnexisōsēlaplace AT polydōrasbasileios studyofnumericalmethodsfortheaccelerationofthejacobimethodforthelaplacesequation |
| _version_ |
1771297146128039936 |
