| Περίληψη: | Η παρούσα εργασία πραγματεύεται την ανάπτυξη απαραίτητων μαθηματικών εργαλείων για την εύρεση λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως η Korteweg-de Vries (KdV) και η Kadomtsev-Petviashvili (KP). Θα συνδέσουμε δυο κλάδους των μαθηματικών, που με με πρώτη ματιά μοιάζουν ξένοι μεταξύ τους: τις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις και τα τελεστικά ιδεώδη. Πρωτοπόρος της διαδικασίας εύρεσης λύσεων με τελεστική μέθοδο ήταν ο V.A. Marchenko και ακολούθησαν οι H.Aden, B.Carl και C.Schiebold. Θα βασιστούμε στις εργασίες των H.Aden, B.Carl και C.Schiebold για να ορίσουμε έννοιες όπως ίχνος και ορίζουσα ενός τελεστή, καθώς επίσης και για να παρουσιάσουμε τη χρησιμότητά τους στην εύρεση λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε την τελεστική μέθοδο του V.A. Marchenko για την εύρεση λύσεων της KdV, καθώς επίσης και τις προϋποθέσεις ώστε η λύση που θα προκύψει να είναι η N-soliton. Τέλος, θα αναλύσουμε το μετασχηματισμό Darboux και σε συνδυασμό με το φορμαλισμό Lax , θα παρουσιάσουμε μια δεύτερη μέθοδο παραγωγής της N-soliton λύσης της KdV.
|
|---|
