Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών

• Κύριος συγγραφέας: Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος
• Άλλοι συγγραφείς: Iliopoulos, Constantinos
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2021
• Θέματα: Χώρος μέτρου; Σύστημα αναλλοίωτου μέτρου; Εργοδικό σύστημα; Measure space; Invariant measure system; Ergodic system

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τα εργοδικά δυναμικά συστήματα και κάποιες απλές εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποιες απαραίτητες έννοιες τις θεωρίας μέτρου και της συναρτησιακής ανάλυσης όπου θα χρειαστούν στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 2 δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς των συστημάτων με αναλλοίωτο μέτρο και των εργοδικών συστημάτων . Δίνουμε κάποια παραδείγματα και μελετάμε την δυναμική του συστήματατος που δέχεται ένα αναλλοίωτο μέτρο μελετώντας τα σημεία επαναφοράς. Τέλος δίνουμε ένα θεώρημα που μου δίνει κάποια ευρεία κατηγορία συστημάτων αναλλοίωτου μέτρου και εργοδικά συστήματα που είναι τα τοπολογικά δυναμικά συστήματα σε συμπαγή μετρικό χώρο. Στο κεφάλαιο 3 δίνουμε απόδειξη των βασικών εργοδικών θεωρημάτων , του θεωρήματος Von Neumann και του θεωρήματος Birkhoff που μου δίνουν την ασυμπτωτική συμπεριφορά μέσων όρων. Στο κεφάλαιο 4 δίνουμε κάποιες εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Μελετάμε τις ισοκατανεμημένες ακολουθίες και μέσω του εργοδικού θεωρήματος βρίσκουμε παραδείγματα εργοδικών συστημάτων όπως και την κατανομή Benford . Έπειτα μελετάμε τα συνεχή κλάσματα και μέσω του εργοδικού θεωρήματος καταλήγουμε σε έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος στην έκφραση ως συνεχές κλάσμα ενός ψηφίου j. Τέλος μελετάμε τις αριθμητικές προόδους και δίνουμε απόδειξη των θεωρημάτων Szemeredi και V an der Waerden .