Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τα εργοδικά δυναμικά συστήματα και κάποιες απλές εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποιες απαραίτητες έννοιες τις θεωρίας μέτρου και της συναρτησιακής ανάλυσης όπου θα χρειαστούν στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 2 δίνουμε τους απαραίτητους ο...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2021
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/14502 |
| id |
nemertes-10889-14502 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-145022022-09-06T05:13:03Z Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών Ergodic theory and applications on number theory Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος Iliopoulos, Constantinos Χώρος μέτρου Σύστημα αναλλοίωτου μέτρου Εργοδικό σύστημα Measure space Invariant measure system Ergodic system Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τα εργοδικά δυναμικά συστήματα και κάποιες απλές εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποιες απαραίτητες έννοιες τις θεωρίας μέτρου και της συναρτησιακής ανάλυσης όπου θα χρειαστούν στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 2 δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς των συστημάτων με αναλλοίωτο μέτρο και των εργοδικών συστημάτων . Δίνουμε κάποια παραδείγματα και μελετάμε την δυναμική του συστήματατος που δέχεται ένα αναλλοίωτο μέτρο μελετώντας τα σημεία επαναφοράς. Τέλος δίνουμε ένα θεώρημα που μου δίνει κάποια ευρεία κατηγορία συστημάτων αναλλοίωτου μέτρου και εργοδικά συστήματα που είναι τα τοπολογικά δυναμικά συστήματα σε συμπαγή μετρικό χώρο. Στο κεφάλαιο 3 δίνουμε απόδειξη των βασικών εργοδικών θεωρημάτων , του θεωρήματος Von Neumann και του θεωρήματος Birkhoff που μου δίνουν την ασυμπτωτική συμπεριφορά μέσων όρων. Στο κεφάλαιο 4 δίνουμε κάποιες εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Μελετάμε τις ισοκατανεμημένες ακολουθίες και μέσω του εργοδικού θεωρήματος βρίσκουμε παραδείγματα εργοδικών συστημάτων όπως και την κατανομή Benford . Έπειτα μελετάμε τα συνεχή κλάσματα και μέσω του εργοδικού θεωρήματος καταλήγουμε σε έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος στην έκφραση ως συνεχές κλάσμα ενός ψηφίου j. Τέλος μελετάμε τις αριθμητικές προόδους και δίνουμε απόδειξη των θεωρημάτων Szemeredi και V an der Waerden . In this dissertation we study the work dynamical systems and some simple applications in number theory. In Chapter 1 we give some necessary concepts of measure theory and functional analysis where they will beneeded later. In Chapter 2 we give the necessary definitions of systems with invariant measure and ergodic systems. We give some examples and study the dynamics of the system that accepts an invariant measure by studying the recurrence points. Finally we give a theorem that gives me some broad category of systems with invariant measure and ergodic systems which are the topological systems on compact metric space. In Chapter 3 we give proof of the basic ergodic theorems of the V on Neumann theorem and the Birkhoff theorem that give me the asymptotic mean behavior. What we will conclude is that for a measurable set U, on average the points of a trajectory that are inside U are as large as the volume of U. In Chapter 4 we give some applications to number theory. We study the equidistributed sequences and through the Ergodic theorem we find examples of as well as the Benford distribution. Then we study the continuous fractions and through the ergodic theorem we come to an asymptotic formula for the number in the expression of a continuous fraction of a digit j. Finally we study the arithmetic progressions and give proof of the Szemeredi and Van der Waerden theorems. 2021-02-18T07:28:42Z 2021-02-18T07:28:42Z 2021-02-01 http://hdl.handle.net/10889/14502 gr application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Χώρος μέτρου Σύστημα αναλλοίωτου μέτρου Εργοδικό σύστημα Measure space Invariant measure system Ergodic system |
| spellingShingle |
Χώρος μέτρου Σύστημα αναλλοίωτου μέτρου Εργοδικό σύστημα Measure space Invariant measure system Ergodic system Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| description |
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τα εργοδικά δυναμικά συστήματα και κάποιες απλές εφαρμογές στην θεωρία αριθμών.
Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποιες απαραίτητες έννοιες τις θεωρίας μέτρου και της συναρτησιακής ανάλυσης όπου θα χρειαστούν στη συνέχεια.
Στο κεφάλαιο 2 δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς των συστημάτων με αναλλοίωτο μέτρο και των εργοδικών συστημάτων . Δίνουμε κάποια παραδείγματα και μελετάμε την δυναμική του συστήματατος που
δέχεται ένα αναλλοίωτο μέτρο μελετώντας τα σημεία επαναφοράς. Τέλος δίνουμε ένα θεώρημα που μου δίνει κάποια ευρεία κατηγορία συστημάτων αναλλοίωτου μέτρου και εργοδικά συστήματα που είναι τα τοπολογικά δυναμικά συστήματα σε συμπαγή μετρικό χώρο.
Στο κεφάλαιο 3 δίνουμε απόδειξη των βασικών εργοδικών θεωρημάτων , του θεωρήματος Von Neumann και του θεωρήματος Birkhoff που μου δίνουν την ασυμπτωτική συμπεριφορά μέσων όρων.
Στο κεφάλαιο 4 δίνουμε κάποιες εφαρμογές στην θεωρία αριθμών. Μελετάμε τις ισοκατανεμημένες ακολουθίες και μέσω του εργοδικού θεωρήματος βρίσκουμε παραδείγματα εργοδικών συστημάτων όπως και την κατανομή Benford . Έπειτα μελετάμε τα συνεχή κλάσματα και μέσω του εργοδικού θεωρήματος καταλήγουμε
σε έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος στην έκφραση ως συνεχές κλάσμα ενός ψηφίου j. Τέλος μελετάμε τις αριθμητικές προόδους και δίνουμε απόδειξη των θεωρημάτων Szemeredi και V an der Waerden . |
| author2 |
Iliopoulos, Constantinos |
| author_facet |
Iliopoulos, Constantinos Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος |
| author |
Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος |
| author_sort |
Ηλιόπουλος, Κωνσταντίνος |
| title |
Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| title_short |
Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| title_full |
Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| title_fullStr |
Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| title_full_unstemmed |
Εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| title_sort |
εργοδική θεωρία και εφαρμογές στην θεωρία αριθμών |
| publishDate |
2021 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/14502 |
| work_keys_str_mv |
AT ēliopouloskōnstantinos ergodikētheōriakaiepharmogesstēntheōriaarithmōn AT ēliopouloskōnstantinos ergodictheoryandapplicationsonnumbertheory |
| _version_ |
1799945009058807808 |
