Συμμετρίες Lie της εξίσωσης Burgers, ο μετασχηματισμός Cole-Hopf και εφαρμογές σε προβλήματα συνοριακών τιμών

• Κύριος συγγραφέας: Κόμης, Κυριάκος
• Άλλοι συγγραφείς: Komis, Kyriakos
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2021
• Θέματα: Συμμετρίες Lie; Εξίσωση θερμότητας; Εξίσωση Burgers; Μετασχηματισμός Cole-Hopf; Προβλήματα συνοριακών τιμών; Lie symmetries; Heat equation; Burgers equation; Cole-Hopf transformation; Boundary value problems

Το αντικείμενο μελέτης της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η θεωρία των ομάδων συμμετριών Lie, και η εφαρμογή τους στην επίλυση τόσο γραμμικών, όσο και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ). Ως παραδείγματα θεωρούμε την γραμμική ΜΔΕ της θερμότητας και την μη γραμμική ΜΔΕ του Burgers. Στο πρώτο κεφάλαιο, δίνουμε τα βασικά στοιχεία της θεωρίας μονοπαραμετρικών ομάδων μετασχηματισμών Lie, με έμφαση στην έννοια και τις ιδιότητες των απειρο- στών γεννητόρων τους. Στη συνέχεια, δείχνουμε πως οι παραπάνω έννοιες συνδέονται με τις λύσεις ΜΔΕ, εισαγάγοντας την έννοια της επέκτασης ενός απειροστού γεννή- τορα, ενώ παράλληλα δίνουμε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι γεννήτορες συμμετριών για να είναι συμβατοί με την ΜΔΕ που μελετάμε. Στη συνέχεια, υπολογί- ζουμε αναλυτικά τους γεννήτορες των ομάδων συμμετριών Lie των ΜΔΕ της θερμό- τητας και του Burgers. Στο τέλος του πρώτου κεφαλαίου δίνουμε έναν συστηματικό τρόπο κατασκευής του μετασχηματισμού Cole-Hopf, ο οποίος απεικονίζει λύσεις της μιας ΜΔΕ σε λύσεις της άλλης, και προκύπτει με σύγκριση των απειροστών γεννητό- ρων συμμετριών των δύο αυτών ΜΔΕ. Στο δεύτερο κεφάλαιο, δείχνουμε πως εφαρμόζεται η θεωρία συμμετριών Lie για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για τις ΜΔΕ της θερμότητας και του Burgers. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε τα εργαλεία που αναπτύ- χθηκαν στο πρώτο κεφάλαιο για να ανακτήσουμε την θεμελιώδη λύση της θερμότητας, και κλείνουμε την εργασία παρουσιάζοντας μία μέθοδο για την μετατροπή ενός ΠΣΤ της μη-γραμμικής ΜΔΕ του Burgers σε ένα ΠΣΤ της γραμμικής ΜΔΕ της θερμότητας.