Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας
Η εργασία πραγματεύεται ζητήματα Προβολικής Γεωμετρίας, τα οποία θα προσεγγιστούν μέσω της Γραμμικής Άλγεβρας. Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η έννοια του προβολικού χώρου ως το σύνολο όλων των μονοδιάστατων διανυσματικών υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου. Στη συνέχεια, εισάγονται οι προβολικοί μετασχη...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2022
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/16131 |
| id |
nemertes-10889-16131 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-161312022-09-05T14:09:12Z Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας Introduction in projective geometry. An approach using linear algebra Μακρής, Παναγιώτης Makris, Panagiotis Προβολική γεωμετρία Προβολικός χώρος Ομογενείς συντεταγμένες Προβολές Αρχή του δϋισμού Διπλός λόγος Θεώρημα Desargues Θεώρημα Πάππου Projective geometry Projective space Homogeneous coordinates Projections Duality principle Cross ratio Pappus theorem Desargues theorem Η εργασία πραγματεύεται ζητήματα Προβολικής Γεωμετρίας, τα οποία θα προσεγγιστούν μέσω της Γραμμικής Άλγεβρας. Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η έννοια του προβολικού χώρου ως το σύνολο όλων των μονοδιάστατων διανυσματικών υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου. Στη συνέχεια, εισάγονται οι προβολικοί μετασχηματισμοί μέσω των οποίων αποδεικνύονται τα δύο βασικά θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας, το θεώρημα Desargues και το θεώρημα του Πάππου. Στη συνέχεια, μελετάται μια από τις σημαντικότερες έννοιες της Προβολικής Γεωμετρίας, η αρχή του Δυϊσμού. Μια έννοια από την οποία θα φανεί η ανωτερότητα της Προβολικής Γεωμετρίας από την Ευκλείδεια. Εν συνεχεία, ορίζονται οι επίπεδες προβολικές καμπύλες σε ένα προβολικό επίπεδο και τα ομογενή πολυώνυμα ώστε να επιτευχθεί η ταξινόμηση των αλγεβρικών καμπυλών δευτέρου βαθμού (κωνικές τομές) επί του προβολικού επιπέδου. Τέλος, αναλύονται οι κυβικές καμπύλες με σκοπό τον ορισμό των ελλειπτικών καμπυλών ώστε να παρουσιαστεί η εφαρμογή τους στα κρυπτοσυστήματα ελλειπτικής κρυπτογραφίας. This bachelor's thesis examines topics of Projective Geometry, which will be addressed through Linear Algebra. In particular, the concept of projective space is defined as the set of all one-dimensional vector subspaces of a vector space. Firstly, we introduce the projective transformations through which we prove the two major theorems of Projective Geometry: Desargues’ theorem and Pappus’ theorem. Secondly, we study one of the most important concepts of Projective Geometry: the notion of duality. It is through duality that Projective Geometry can offer a wider range of possibilities if compared to Euclidian Geometry. Thirdly, we define the projective plane curves in a projective plane as well as the homogeneous polynomials so that we can classify the second-degree algebraic curves (conic sections) in a projective plane. Finally, we study the cubic curves with a view to define elliptic curves. The latter can be applied on the elliptic curve cryptosystems, which are the state-of-the art sytems used in modern asymmetric cryptography. 2022-03-22T06:38:19Z 2022-03-22T06:38:19Z 2021-06-10 http://hdl.handle.net/10889/16131 gr application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Προβολική γεωμετρία Προβολικός χώρος Ομογενείς συντεταγμένες Προβολές Αρχή του δϋισμού Διπλός λόγος Θεώρημα Desargues Θεώρημα Πάππου Projective geometry Projective space Homogeneous coordinates Projections Duality principle Cross ratio Pappus theorem Desargues theorem |
| spellingShingle |
Προβολική γεωμετρία Προβολικός χώρος Ομογενείς συντεταγμένες Προβολές Αρχή του δϋισμού Διπλός λόγος Θεώρημα Desargues Θεώρημα Πάππου Projective geometry Projective space Homogeneous coordinates Projections Duality principle Cross ratio Pappus theorem Desargues theorem Μακρής, Παναγιώτης Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| description |
Η εργασία πραγματεύεται ζητήματα Προβολικής Γεωμετρίας, τα οποία θα προσεγγιστούν μέσω της Γραμμικής Άλγεβρας. Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η έννοια του προβολικού χώρου ως το σύνολο όλων των μονοδιάστατων διανυσματικών υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου.
Στη συνέχεια, εισάγονται οι προβολικοί μετασχηματισμοί μέσω των οποίων αποδεικνύονται τα δύο βασικά θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας, το θεώρημα Desargues και το θεώρημα του Πάππου.
Στη συνέχεια, μελετάται μια από τις σημαντικότερες έννοιες της Προβολικής Γεωμετρίας, η αρχή του Δυϊσμού. Μια έννοια από την οποία θα φανεί η ανωτερότητα της Προβολικής Γεωμετρίας από την Ευκλείδεια.
Εν συνεχεία, ορίζονται οι επίπεδες προβολικές καμπύλες σε ένα προβολικό επίπεδο και τα ομογενή πολυώνυμα ώστε να επιτευχθεί η ταξινόμηση των αλγεβρικών καμπυλών δευτέρου βαθμού (κωνικές τομές) επί του προβολικού επιπέδου.
Τέλος, αναλύονται οι κυβικές καμπύλες με σκοπό τον ορισμό των ελλειπτικών καμπυλών ώστε να παρουσιαστεί η εφαρμογή τους στα κρυπτοσυστήματα ελλειπτικής κρυπτογραφίας. |
| author2 |
Makris, Panagiotis |
| author_facet |
Makris, Panagiotis Μακρής, Παναγιώτης |
| author |
Μακρής, Παναγιώτης |
| author_sort |
Μακρής, Παναγιώτης |
| title |
Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| title_short |
Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| title_full |
Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| title_fullStr |
Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| title_full_unstemmed |
Εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. Μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| title_sort |
εισαγωγή στην προβολική γεωμετρία. μια προσέγγιση μέσω γραμμικής άλγεβρας |
| publishDate |
2022 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/16131 |
| work_keys_str_mv |
AT makrēspanagiōtēs eisagōgēstēnprobolikēgeōmetriamiaprosengisēmesōgrammikēsalgebras AT makrēspanagiōtēs introductioninprojectivegeometryanapproachusinglinearalgebra |
| _version_ |
1771297250590326784 |
