Αναλυτική συνέχιση της συνάρτησης ζήτα του Riemann και η σχέση της με τους πρώτους αριθμούς

• Κύριος συγγραφέας: Νικολακόπουλος, Δημήτριος
• Άλλοι συγγραφείς: Nikolakopoulos, Dimitrios
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2023
• Θέματα: Συνάρτηση ζήτα; Αναλυτική συνέχιση της συνάρτησης ζήτα; Μη-τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα; Ασυμπτωτικός τύπος των μη-τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα; Τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα; Analytic continuation of the Zeta Riemann function; Trivial zeroes of the Zeta Riemann function; Non-trivial zeroes of the Zeta Riemann function

Στόχος σε αυτή την εργασία είναι η αναλυτική επέκταση της συνάρτησης ζήτα του Riemann σε όλο το μιγαδικό επίπεδο και να δείξουμε ότι το πλήθος των μη τετριμμένων ριζών της συνάρτησης ζήτα του Riemann, N(T), στο ορθογώνιο 0 ⩽ Re(s) ⩽ 1, 0 ⩽ Im(s) ⩽ T έχει ασυμπτωτικό τύπο N(T) = (T/2π) log(T/2πe)+ O(log(T)). Η εργασία αρχίζει με μια εισαγωγή στις έννοιες που απαιτούνται για την κατανόηση του θέματος. Περιλαμβάνει ενότητες για τις ασυμπτωτικές εκτιμήσεις, τους Big-O συμβολισμούς και τις μεθόδους αθροίσεων κατά μέρη. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την αναλυτική επέκταση της συνάρτησης Γάμμα και αποδεικνύουμε τον ασυμπτωτικό τύπο του Stirling για την Γάμμα, εξετάζονται συνδυαστικοί τρόποι καταμέτρησης των πρώτων αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των εκτιμήσεων Chebyshev και των τριών εκτιμήσεων του Mertens. Η εργασία συνεχίζει με τη μελέτη των σειρών Dirichlet και των αναλυτικών ιδιοτήτων τους. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται μεθόδοι μιγαδικής ανάλυσης, με έμφαση σε έναν αναλυτικό τύπο για την καταμέτρηση των πρώτων αριθμών και την αναλυτική επέκταση της συνάρτησης ζήτα του Riemann στο μιγαδικό επίπεδο. Στη συνέχεια, εξετάζεται η συναρτησιακή εξίσωση και εντοπίζουμε τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα του Riemann. Εισάγεται το γνωστό γινόμενο Euler και η αναπαράσταση της ζήτα σε απειρογινόμενο. Αναλύονται οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα, συμπεριλαμβανομένων των τετριμμένων και μη τετριμμένων ριζών. Τέλος, παρουσιάζεται η υπόθεση του Riemann, που είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα στη μαθηματική κοινότητα και σχετίζεται με τον μη μηδενισμό των μη τετριμμένων μηδενικών της ζήτα. Η υπόθεση αυτή αποτελεί έναν από τους μεγαλύτερους ανοιχτούς γρίφους στη μαθηματική κοινότητα.