Το θεώρημα Chern-Gauss-Bonnet

• Κύριος συγγραφέας: Οικονόμου, Βασίλειος-Νεκτάριος
• Άλλοι συγγραφείς: Oikonomou, Vasileios-Nektarios
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2023
• Θέματα: Γεωμετρία; Εξίσωση θερμότητας; Chern Gauss Bonnet

Στην παρούσα Διπλωματική εργασία μελετάμε την Λαπλασιανή σε μία πολλαπλότητα Riemann. Στόχος μας είναι να ανακτήσουμε τοπολογικές και γεωμετρικές πληροφορίες για μία πολλαπλότητα χρησιμοποιώντας αναλυτικά εργαλεία. Θα δούμε ότι η τοπική αναλυτική μελέτη που θα κάνουμε επεκτείνεται σε καθολικά (Global) αποτελέσματα για μία πολλαπλότητα. Μεταξύ άλλων θα αποδείξουμε το θεώρημα Chern Gauss Bonnet (1944) το οποίο αποδείχθηκε από τον S.S.Chern το οποίο συνδέει την χαρακτηριστική του Euler με την μορφή Euler (μία ποσότητα γνωστή και ως Gauss-Bonnet integrand). Η απόδειξη που θα παραθέσουμε είναι με την προσέγγιση της εξίσωσης θερμότητας και του φάσματος της Λαπλασιανής. Η μεθοδολογία που θα αναπτύξουμε είναι κομβικής σημασίας για την σύγχρονη γεωμετρική ανάλυση καθώς μπορεί να αναπτυχθεί σε διαφορικούς τελεστές και να μας δώσει το σπουδαίο Atiyah-Singer index theorem (1962-1963) το οποίο αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Chern-Gauss-Bonnet και άλλων κλασσικών θεωρημάτων όπως το θεώρημα Riemann-Roch. Τα κύρια περιεχόμενα που θα δούμε είναι στοιχεία γεωμετρίας Riemann, στοιχεία θεωρίας Hodge που αφορά το φάσμα της Λαπλασιανής σε μία πολλαπλότητα, την κατασκευή της θεμελιώδους λύσης της εξίσωσης θερμότητας σε συναρτήσεις και μορφές σε μία πολλαπλότητα Riemann και επίσης θα παραθέσουμε την απόδειξη του Patodi (1971) της εικασίας McKean-Singer η οποία έχει ως αποτέλεσμα το θεώρημα Chern-Gauss-Bonnet. Όλα τα παραπάνω θα γίνουν με βάση τις ιδιότητες της θεμελιώδους λύσης της εξίσωσης θερμότητας.