| Περίληψη: | Σε αυτήν την διπλωματική εργασία παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα της Αναλυτικής Θεωρίας
των Αριθμών και της Θεωρίας Κοσκίνων τα οποία είχαν πρωταγωνιστικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών
κατά τον 18ο, τον 19ο και τον 20ο αιώνα αλλά αποτελούν αντικείμενα ενεργής έρευνας ακόμα και σήμερα.
Τα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και ιδιαίτερα αυτά γύρω από τους πρώτους έχουν μια μοναδική μαγεία:
μπορούν να διατυπωθούν με μια εντελώς στοιχειώδη γλώσσα αλλά πολλές φορές είναι τόσο δύσκολα στην
αντιμετώπιση που παραμένουν ανοιχτά μέχρι και σήμερα. Αυτή η ιδιαίτερη φύση τους αποτελούσε πάντα
πόλο έλξης για κάποιους από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς ανά περίοδο, οι οποίοι συμμετείχαν ενεργά
στην προσπάθεια της μαθηματικής κοινότητας να καταλάβουν καλύτερα την συμπεριφορά των ακεραίων και
ειδικότερα των πρώτων. Ανάμεσα στα θέματα που τους προβλημάτισαν κατά τον 19ο αιώνα, ίσως τα δύο πιο
γνωστά ήταν αυτό που μεταγενέστερα θα γινόταν γνωστό ως το Θεώρημα των πρώτων αριθμών,
το οποίο μας δίνει έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος των πρώτων αριθμών μέχρι έναν αριθμό x, καθώς
και το Θεώρημα του Dirichlet για πρώτους σε αριθμητική πρόοδο, το οποίο δίνει ένα ανάλογο
του θεωρήματος της απειρίας των πρώτων του Ευκλείδη. Μέσα σε αυτήν την ανάπτυξη του κλάδου, μια από
τις σημαντικότερες συνεισφορές ήταν αυτή του Riemann, ο οποίος με μια μόνο δημοσίευση λίγων σελίδων
έφερε την επανάσταση στον κλάδο με την μελέτη της λεγόμενης συνάρτησης ζήτα που πήρε και το όνομα του.
Η λύση των προβλημάτων αυτών έφερε ραγδαία ανάπτυξη στον κλάδο, ο οποίος όμως αδυνατούσε ακόμα να
διαχειριστεί συγκεκριμένου είδους προβλημάτων γύρω από τους πρώτους. ΄Ενα από αυτά, η Εικασία των
δίδυμων πρώτων, είχε την πρώτη ουσιαστική συνεισφορά του στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Brunn,
ο οποίος χρησιμοποίησε την μέθοδο των Κοσκίνων, μια αρχαία αλλά και ταυτόχρονα καινούργια μέθοδος,
η οποία αναπτύχθηκε μέσα στα χρόνια, η θεωρία της εμπλουτίστηκε και αποτελεί πλέον ένα πολύ χρήσιμο
εργαλείο της Θεωρίας Αριθμών. Ο κύριος στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε μια κλασική εισαγωγή στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, τους
χαρακτήρες Dirichlet, την συνάρτηση ζήτα και την Θεωρία Κοσκίνων, δίνοντας βάση τόσο φυσικά στην θεωρία, όσο και στην ιστορία των αποτελεσμάτων.
|
|---|
