| Περίληψη: | Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) ονομάζεται Einstein αν έχει σταθερή καμπυλότητα Ricci.
Είναι γνωστό ότι αν (M=G/K, g) είναι μια συμπαγής ομογενής πολλαπλότητα Riemann,
τότε οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein μοναδιαίου όγκου,
είναι τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ολικής βαθμωτής καμπυλότητας
περιορισμένο στο χώρο των G-αναλλοίωτων μετρικών με όγκο 1.
Για μια G-αναλλοίωτη μετρική Riemann η εξίσωση Einstein
ανάγεται σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.
Οι θετικές πραγματικές λύσεις του συστήματος αυτού είναι
ακριβώς οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein που δέχεται η
πολλαπλότητα Μ.
Μια σημαντική οικογένεια συμπαγών ομογενών χώρων αποτελείται
από τις γενικευμένες πολλαπλότητες σημαιών. Κάθε τέτοιος χώρος
είναι μια τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας συμπαγούς, συνεκτικής,
ημι-απλής ομάδας Lie G. Πρόκειται για ομογενείς πολλαπλότητες της
μορφής G/C(S), όπου C(S) είναι ο κεντροποιητής ενός δακτυλίου S στην G.
Κάθε τέτοιος χώρος δέχεται ένα πεπερασμένο πλήθος από
G-αναλλοίωτες μετρικές Kahler-EInstein.
Στην παρούσα διατριβή ταξινομούμε όλες τις πολλαπλότητες σημαιών
G/K που αντιστοιχούν σε μια απλή ομάδα Lie G,
των οποίων η ισοτροπική αναπαράσταση διασπάται σε 2 ή 4
μη αναγώγιμους και μη ισοδύναμους Ad(K)-αναλλοίωτους προσθετέους.
Για κάθε τέτοιο χώρο λύνουμε την αναλλοίωτη εξίσωση Εinstein,
και παρουσιάζουμε την αναλυτική μορφή νέων G-αναλλοίωτων μετρικών
Einstein. Στις περισσότερες περιπτώσεις παρουσιάζουμε την πλήρη ταξινόμηση των αναλλοίωτων μετρικών Einstein. Επίσης εξετάζουμε το ισομετρικό πρόβλημα.
Για την κατασκευή της εξίσωσης Einstein σε κάποιες
πολλαπλότητες σημαιών με 4 ισοτροπικούς προσθετέους
χρησιμοποιούμε την νηματοποίηση συστροφής που δέχεται
κάθε πολλαπλότητα σημαιών επί ενός ισοτροπικά
μη αναγώγιμου συμμετρικού χώρου συμπαγούς τύπου.
Αυτή η μέθοδος είναι καινούργια και μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες πολλαπλότητες σημαιών.
|
|---|
