Η γεωμετρία των ομογενών χώρων και πολλαπλότητες σημαιών

• Κύριος συγγραφέας: Χρυσικός, Ιωάννης
• Άλλοι συγγραφείς: Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
• Μορφή: Thesis
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2008
• Θέματα: Ομάδες Lie; Άλγεβρες Lie; Πολλαπλότητες σημαιών; Ομογενείς χώροι; Lie groups; Lie algebras; Flag manifolds; Homogeneous spaces; 512.482

Μια από τις πιο επιτυχείς προσεγγίσεις της γεωμετρίας είναι αυτή που πρότεινε ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein στο γνωστό Πρόγραμμα Erlangen. To πρόγραμμα αυτό αποτέλεσε ένα γενικό σχέδιο ταξινόμησης των διάφορων γεωμετριών που εμφανίστηκαν μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών, με τεράστιες επιπτώσεις όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη θεωρητική φυσική. Σύμγωνα με τον Klein, το αντικείμενο της γεωμετρίας είναι μια πολλαπλότητα στην οποία δρα μια ομάδα μετασχηματισμών, η οποία συνήθως είναι μια ομάδα Lie. Στη περίπτωση που η ομάδα δρα μεταβατικά πάνω στην πολλαπλότητα, τότε οδηγούμαστε στην περίτωση των ομογενών χώρων. Κλασικά παραδείγματα τέτοιων χώρων αποτελούν η σφαίρα και ο πραγματικός ή μιγαδικός προβολικός χώρος. Η βασική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους (για παράδειγμα της καμπυλότητας) σε ένα σημείο του χώρου τότε χρησιμοποιώντας κατάλληλες απεικονίσεις μεταφοράς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου. Στην εργασία μας περιγράφουμε τη γεωμετρία των χώρων αυτών χρησιμοποιώντας εργαλεία από τη θεωρία των ομάδων Lie. Το δεύτερο σκέλος της εργασίας αφορά τη θεωρία των πολλαπλοτήτων σημαιών, οι οποίες αποτελούν και μια ιδιαίτερη κλάση ομογενών χώρων. Μια πολλαπλότητα σημαιών είναι η τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας ημιαπλής ομάδας Lie. Οι χώροι αυτοί δέχονται μια κομψή αλγεβρική περιγραφή χρησιμοποιώντας τη δομική θεωρία των ημιαπλών αλγεβρών Lie και ταξινομούνται από τα χρωματιστά διαγράμματα Dynkin.