| Περίληψη: | H παρούσα διπλωματική εργασία, με τίτλο "Μέθοδοι της Μιγαδικής Ανάλυσης στην Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων", είναι αφιερωμένη στη μελέτη προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών για γραμμικές και ολοκληρώσιμες μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, με τη χρήση βασικών εννοιών και θεωρημάτων της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Ειδικότερα, στο κύριο μέρος της εργασίας, μελετάμε την εξίσωση της διάχυσης, την κυματική εξίσωση, την εξίσωση Laplace, την εξίσωση Helmholtz και την εξίσωση Κorteweg-de Vries (KdV).
Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια σύντομη επισκόπηση των καθιερωμένων μεθόδων επίλυσης προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών που αφορούν τις πιο γνωστές γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής. Αναλυτικότερα, χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό Fourier για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών για εξισώσεις εξέλιξης, αντιπροσωπευτικά παραδείγματα των οποίων είναι η εξίσωση της διάχυσης και η κυματική εξίσωση. Στη συνέχεια, ορίζουμε το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace και κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Green, μέσω της οποίας λύνουμε το παραπάνω πρόβλημα συνοριακών τιμών. Τέλος, δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος Riemann οδηγεί στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών για μερικές διαφορικές εξισώσεις υπερβολικού τύπου στο επίπεδο.
Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στο πρόβλημα Riemann-Hilbert, το οποίο ζητά τον προσδιορισμό μιας αναλυτικής μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής που παρουσιάζει προκαθορισμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επίπεδου. Μελετάμε το βαθμωτό πρόβλημα Riemann-Hilbert για απλά και πολλαπλά συνεκτικά χωρία, καθώς επίσης και το πρόβλημα Riemann-Hilbert στην πραγματική ευθεία. Κλείνουμε με τη μελέτη του ομογενούς διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert για κλειστές καμπύλες.
Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε εφαρμογές του προβλήματος Riemann-Hilbert. Πιο συγκεκριμένα, συνδέουμε το πρόβλημα Riemann-Hilbert με τις ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις με πυρήνα τύπου Cauchy, με το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου και του πάνω ημιεπίπεδου, καθώς και με το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται δείχνοντας συνοπτικά τη σύνδεση του διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης στην επίλυση της εξίσωσης KdV.
Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μελετάμε μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου στο επίπεδο. Ορίζοντας τους τελεστές bar και d-bar, μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις αυτού του τύπου σε μερικές διαφορικές εξισώσεις για συναρτήσεις δύο μιγαδικών μεταβλητών και, εφαρμόζοντας τη μέθοδο Riemann, κατασκευάζουμε αναπαραστάσεις των λύσεών τους. Χρησιμοποιώντας αυτές τις αναπαραστάσεις, δείχνουμε τη σύνδεση των ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων με πυρήνα τύπου Cauchy με το πρόβλημα Dirichlet για μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου σε απλά συνεκτικές περιοχές.
|
|---|
