| Περίληψη: | Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή. Συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, Χ_1,Χ_2,…,Χ_n,… (n>0), κάθε μια από τις οποίες έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε, στην περίπτωση που η ροή είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας.
Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής Τ_k, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους k. Αρχικά, αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής, μέσω συνδυαστικών μεθόδων, με εκφράσεις μέσω αθροισμάτων διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. Σημαντική είναι η συνεισφορά της τυχαίας μεταβλητής N_(n,k), που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους k σε n δυαδικά πειράματα. Μελετάται η πιθανογεννήτρια συνάρτηση και παρουσιάζονται εκφράσεις για τη ροπογεννήτρια, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής T_k.
Στη συνέχεια, μελετάται η τυχαία μεταβλητή T_(r,k), η οποία παριστάνει τον χρόνο αναμονής έως ότου εμφανιστούν r ροές επιτυχιών μήκους k. Ακριβείς εκφράσεις αποδεικνύονται για τον προσδιορισμό της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής T_(r,k). Η συνάρτηση πιθανότητας της T_(r,k) προσδιορίζεται επίσης, για ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya – Eggenberger. Επίσης, μελετάται η κατανομή του χρόνου αναμονής για την πρώτη ( ή r- οστή) εμφάνιση ροής επιτυχιών με τη μέθοδο εμβάπτισης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα, για ανεξάρτητες (όχι κατ΄ ανάγκη ισόνομες) δοκιμές Bernoulli. Η μελέτη επεκτείνεται, προκειμένου να δοθούν εκφράσεις για την κατανομή και τη πιθανογεννήτρια του χρόνου αναμονής, στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T_k χρησιμοποιείται για την μελέτη ενός συνεχόμενου-k-από-τα-n:F συστήματος αποτυχίας. Συγκεκριμένα, ενός συστήματος, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν εμφανιστούν τουλάχιστον k συνεχόμενες αποτυχίες. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας m-συνεχόμενων-k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας με τις T_(m,k) και N_(n,k). Αριθμητικά αποτελέσματα διευκρινίζουν περαιτέρω την εφαρμογή των μεθόδων.
|
|---|
