| Περίληψη: | Ο βασικός στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να αποδειχθεί ότι μία συγκεκριμένη οικογένεια ακολουθιών τελεστών είναι υπερκυκλική. Σκοπός μας, δηλαδή, είναι να δείξουμε ότι υπάρχει ολόμορφη συνάρτηση έτσι, ώστε η τροχιά της μέσω της οικογένειας να είναι πυκνή στο σύνολο των ολόμορφων συναρτήσεων ορισμένων σε έναν απλά συνεκτικό τόπο. Για να πετύχουμε το στόχο μας θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Runge. Θα μελετήσουμε και το χώρο των ολόμορφων συναρτήσεων ορισμένων σε ένα ανοικτό υποσύνολο. Θα δείξουμε ότι ο χώρος αυτός εφοδιασμένος με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης πάνω στα συμπαγή υποσύνολα γίνεται ένας πλήρης μετρικοποιήσιμος τοπολογικός διανυσματικός χώρος. Επίσης, καταλυτικό ρόλο θα έχει και το Θεώρημα Birkhoff για τους τοπολογικά transitive τελεστές, το οποίο θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε. Τέλος, θα εξετάσουμε επίσης την περίπτωση όπου η οικογένεια τελεστών θα έχει ως όρισμα συναρτήσεις πάνω σε ένα μη απλά συνεκτικό τόπο, για να διαπιστώσουμε πως η συνθήκη του <<απλά συνεκτικού>> είναι αναγκαία.
|
|---|
