L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών
Σε αυτήν την διπλωματική εργασία παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα της Αναλυτικής Θεωρίας των Αριθμών και της Θεωρίας Κοσκίνων τα οποία είχαν πρωταγωνιστικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κατά τον 18ο, τον 19ο και τον 20ο αιώνα αλλά αποτελούν αντικείμενα ενεργής έρευνας ακόμα και σήμερα....
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2023
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | https://hdl.handle.net/10889/25470 |
| id |
nemertes-10889-25470 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Αναλυτική θεωρία αριθμών Θεωρία κοσκίνων Αναλυτική επέκταση της συνάρτησης ζήτα Θεωρία χαρακτήρων Dirichlet Θεώρημα των πρώτων αριθμών Δίδυμοι πρώτοι Analytic number theory Sieve theory Analytic continuation of the zeta function Dirichlet characters Prime number theorem Twin primes |
| spellingShingle |
Αναλυτική θεωρία αριθμών Θεωρία κοσκίνων Αναλυτική επέκταση της συνάρτησης ζήτα Θεωρία χαρακτήρων Dirichlet Θεώρημα των πρώτων αριθμών Δίδυμοι πρώτοι Analytic number theory Sieve theory Analytic continuation of the zeta function Dirichlet characters Prime number theorem Twin primes Λώλης, Μιχαήλ L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| description |
Σε αυτήν την διπλωματική εργασία παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα της Αναλυτικής Θεωρίας
των Αριθμών και της Θεωρίας Κοσκίνων τα οποία είχαν πρωταγωνιστικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών
κατά τον 18ο, τον 19ο και τον 20ο αιώνα αλλά αποτελούν αντικείμενα ενεργής έρευνας ακόμα και σήμερα.
Τα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και ιδιαίτερα αυτά γύρω από τους πρώτους έχουν μια μοναδική μαγεία:
μπορούν να διατυπωθούν με μια εντελώς στοιχειώδη γλώσσα αλλά πολλές φορές είναι τόσο δύσκολα στην
αντιμετώπιση που παραμένουν ανοιχτά μέχρι και σήμερα. Αυτή η ιδιαίτερη φύση τους αποτελούσε πάντα
πόλο έλξης για κάποιους από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς ανά περίοδο, οι οποίοι συμμετείχαν ενεργά
στην προσπάθεια της μαθηματικής κοινότητας να καταλάβουν καλύτερα την συμπεριφορά των ακεραίων και
ειδικότερα των πρώτων. Ανάμεσα στα θέματα που τους προβλημάτισαν κατά τον 19ο αιώνα, ίσως τα δύο πιο
γνωστά ήταν αυτό που μεταγενέστερα θα γινόταν γνωστό ως το Θεώρημα των πρώτων αριθμών,
το οποίο μας δίνει έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος των πρώτων αριθμών μέχρι έναν αριθμό x, καθώς
και το Θεώρημα του Dirichlet για πρώτους σε αριθμητική πρόοδο, το οποίο δίνει ένα ανάλογο
του θεωρήματος της απειρίας των πρώτων του Ευκλείδη. Μέσα σε αυτήν την ανάπτυξη του κλάδου, μια από
τις σημαντικότερες συνεισφορές ήταν αυτή του Riemann, ο οποίος με μια μόνο δημοσίευση λίγων σελίδων
έφερε την επανάσταση στον κλάδο με την μελέτη της λεγόμενης συνάρτησης ζήτα που πήρε και το όνομα του.
Η λύση των προβλημάτων αυτών έφερε ραγδαία ανάπτυξη στον κλάδο, ο οποίος όμως αδυνατούσε ακόμα να
διαχειριστεί συγκεκριμένου είδους προβλημάτων γύρω από τους πρώτους. ΄Ενα από αυτά, η Εικασία των
δίδυμων πρώτων, είχε την πρώτη ουσιαστική συνεισφορά του στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Brunn,
ο οποίος χρησιμοποίησε την μέθοδο των Κοσκίνων, μια αρχαία αλλά και ταυτόχρονα καινούργια μέθοδος,
η οποία αναπτύχθηκε μέσα στα χρόνια, η θεωρία της εμπλουτίστηκε και αποτελεί πλέον ένα πολύ χρήσιμο
εργαλείο της Θεωρίας Αριθμών. Ο κύριος στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε μια κλασική εισαγωγή στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, τους
χαρακτήρες Dirichlet, την συνάρτηση ζήτα και την Θεωρία Κοσκίνων, δίνοντας βάση τόσο φυσικά στην θεωρία, όσο και στην ιστορία των αποτελεσμάτων. |
| author2 |
Lolis, Michail |
| author_facet |
Lolis, Michail Λώλης, Μιχαήλ |
| author |
Λώλης, Μιχαήλ |
| author_sort |
Λώλης, Μιχαήλ |
| title |
L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| title_short |
L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| title_full |
L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| title_fullStr |
L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| title_full_unstemmed |
L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών |
| title_sort |
l-συναρτήσεις χαρακτήρων dirichlet και θεωρία πρώτων αριθμών |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://hdl.handle.net/10889/25470 |
| work_keys_str_mv |
AT lōlēsmichaēl lsynartēseischaraktērōndirichletkaitheōriaprōtōnarithmōn AT lōlēsmichaēl lfunctionsofdirichletcharactersandtheoryofprimenumbers |
| _version_ |
1771297342452924416 |
| spelling |
nemertes-10889-254702023-07-12T04:04:21Z L-συναρτήσεις χαρακτήρων Dirichlet και Θεωρία πρώτων αριθμών L-functions of Dirichlet characters and theory of prime numbers Λώλης, Μιχαήλ Lolis, Michail Αναλυτική θεωρία αριθμών Θεωρία κοσκίνων Αναλυτική επέκταση της συνάρτησης ζήτα Θεωρία χαρακτήρων Dirichlet Θεώρημα των πρώτων αριθμών Δίδυμοι πρώτοι Analytic number theory Sieve theory Analytic continuation of the zeta function Dirichlet characters Prime number theorem Twin primes Σε αυτήν την διπλωματική εργασία παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα της Αναλυτικής Θεωρίας των Αριθμών και της Θεωρίας Κοσκίνων τα οποία είχαν πρωταγωνιστικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κατά τον 18ο, τον 19ο και τον 20ο αιώνα αλλά αποτελούν αντικείμενα ενεργής έρευνας ακόμα και σήμερα. Τα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και ιδιαίτερα αυτά γύρω από τους πρώτους έχουν μια μοναδική μαγεία: μπορούν να διατυπωθούν με μια εντελώς στοιχειώδη γλώσσα αλλά πολλές φορές είναι τόσο δύσκολα στην αντιμετώπιση που παραμένουν ανοιχτά μέχρι και σήμερα. Αυτή η ιδιαίτερη φύση τους αποτελούσε πάντα πόλο έλξης για κάποιους από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς ανά περίοδο, οι οποίοι συμμετείχαν ενεργά στην προσπάθεια της μαθηματικής κοινότητας να καταλάβουν καλύτερα την συμπεριφορά των ακεραίων και ειδικότερα των πρώτων. Ανάμεσα στα θέματα που τους προβλημάτισαν κατά τον 19ο αιώνα, ίσως τα δύο πιο γνωστά ήταν αυτό που μεταγενέστερα θα γινόταν γνωστό ως το Θεώρημα των πρώτων αριθμών, το οποίο μας δίνει έναν ασυμπτωτικό τύπο για το πλήθος των πρώτων αριθμών μέχρι έναν αριθμό x, καθώς και το Θεώρημα του Dirichlet για πρώτους σε αριθμητική πρόοδο, το οποίο δίνει ένα ανάλογο του θεωρήματος της απειρίας των πρώτων του Ευκλείδη. Μέσα σε αυτήν την ανάπτυξη του κλάδου, μια από τις σημαντικότερες συνεισφορές ήταν αυτή του Riemann, ο οποίος με μια μόνο δημοσίευση λίγων σελίδων έφερε την επανάσταση στον κλάδο με την μελέτη της λεγόμενης συνάρτησης ζήτα που πήρε και το όνομα του. Η λύση των προβλημάτων αυτών έφερε ραγδαία ανάπτυξη στον κλάδο, ο οποίος όμως αδυνατούσε ακόμα να διαχειριστεί συγκεκριμένου είδους προβλημάτων γύρω από τους πρώτους. ΄Ενα από αυτά, η Εικασία των δίδυμων πρώτων, είχε την πρώτη ουσιαστική συνεισφορά του στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Brunn, ο οποίος χρησιμοποίησε την μέθοδο των Κοσκίνων, μια αρχαία αλλά και ταυτόχρονα καινούργια μέθοδος, η οποία αναπτύχθηκε μέσα στα χρόνια, η θεωρία της εμπλουτίστηκε και αποτελεί πλέον ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο της Θεωρίας Αριθμών. Ο κύριος στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε μια κλασική εισαγωγή στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, τους χαρακτήρες Dirichlet, την συνάρτηση ζήτα και την Θεωρία Κοσκίνων, δίνοντας βάση τόσο φυσικά στην θεωρία, όσο και στην ιστορία των αποτελεσμάτων. This undergraduate thesis presents some fundamental results of Analytic Number Theory and Sieve Theory, which played a prominent role during the 18th, 19th and 20th century in mathematics but remain active areas of research even today. Number theory is an area of Mathematics which deals with problems that possess a unique charm: they can be formulated in a very elementary language, yet they are often so challenging that they remain open until today. This inherent nature of these problems has always been an attraction for some of the greatest mathematicians throughout time who actively participated in the mathematical community's effort to better understand the behavior of integers, especially primes. Among the topics that fascinated mathematicians in the 19th century, perhaps the two most well-known were what later became known as the Prime Number Theorem, which provides an asymptotic formula for the number of primes up to a given number x, and Dirichlet's Theorem on primes in arithmetic progressions, which gives a similar result to Euclid's infinitude theorem for primes. Within the development of this branch, one of the most significant contributions was made by Riemann, who, with a single publication of a few pages, revolutionized the field through the study of the so-called Riemann zeta function, which bears his name. The resolution of these problems brought rapid development to the field. However, it still struggled to handle specific problems related to primes. One such problem, the Twin Prime Conjecture, had its first substantial contribution in the early 20th century by Brunn, who utilized the method of Sieves—an ancient yet simultaneously innovative method. Over the years, this theory has been further developed, enriched, and now constitutes a very useful tool in Number Theory. Our main objective is to present a classical introduction to Analytic Number Theory, Dirichlet characters, the zeta function, and Sieve Theory. We will focus not only on the theory itself but also on the historical importance of the results. 2023-07-11T05:12:26Z 2023-07-11T05:12:26Z 2023-07-05 https://hdl.handle.net/10889/25470 el Attribution-NonCommercial 3.0 United States http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/us/ application/pdf |
